Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（2-x）=-f（x），x＞1时f（x）单调递增，如果x₁＜x₂，x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能为0

D．可正可负

Answer 1

分析：由f（2-x）=-f（x），知函数f（x）关于点（1，0）对称且f（1）=0，由当x＞1时，f（x）单调递增，知当x＜1时，f（x）单调递增，由此能求推导出f（x₁）+f（x₂）＜0．

解答：解：∵f（2-x）=-f（x），
∴函数f（x）关于点（1，0）对称
令x=1，得f（1）=-f（1），则f（1）=0，
∵当x＞1时，f（x）单调递增，∴当x＜1时，f（x）单调递增，
∵x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴设x₁＜x₂，则x₁＜1＜x₂，
f（x₁）=-f（2-x₁），x₂＜2-x₁，
∵x＞1，f（x）是增函数，
∴f（x₂）＜f（2-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0．
故选：A．

点评：本题考查函数值的应用，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．