Question

3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+\sqrt{2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ²+$2ρsin（θ+\frac{π}{4}）$+1=r²（r＞0）．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+\sqrt{2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），两个方程相加可得直线l的直角坐标方程．圆C的极坐标方程为ρ²+$2ρsin（θ+\frac{π}{4}）$+1=r²（r＞0），展开为${ρ}^{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）+1$=r²，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）求出圆心C到直线$x+y=\sqrt{2}$的距离为d，求出圆心到直线的距离，即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+\sqrt{2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），两个方程相加可得：直线l的直角坐标方程为$x+y=\sqrt{2}$．
圆C的极坐标方程为ρ²+$2ρsin（θ+\frac{π}{4}）$+1=r²（r＞0），展开为${ρ}^{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）+1$=r²，
∴${x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{2}y+\sqrt{2}x$+1=r²，
∴圆C的直角坐标方程为${（x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}={r^2}（r＞0）$．  
（2）∵圆心$C（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，半径为r，
圆心C到直线$x+y=\sqrt{2}$的距离为$d=\frac{{|{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=2$，
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，
∴r=3-2=1．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．