Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=9，S₆=36，设关于x的不等式x²-x+2²ⁿ⁺¹＜（3x-1）•2ⁿ（n∈N^*）的解集中整数的个数为c_n．
（1）求（n-10）S_n的最小值；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}$}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到数列的通项和求和公式；
（2）运用二次不等式的解法可得c_n=2ⁿ，再由错位相减法，化简计算即可得到前n项和T_n．

解答 解：（1）S₃=9，S₆=36，
则3a₁+$\frac{1}{2}$×3×2d=9，6a₁+$\frac{1}{2}$×6×5d=36，
解得a₁=1，d=2，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²，
令f（n）=（n-10）n²，f′（n）=3n²-20n，
由f′（n）＞0，可得n＞$\frac{20}{3}$；由f′（n）＜0，可得0＜n＜$\frac{20}{3}$．
由于n为整数，且f（6）=-144，f（7）=-147．
即有n=7时，（n-10）S_n取得最小值，且为-147；
（2）x²-x+2²ⁿ⁺¹＜（3x-1）•2ⁿ（n∈N^*）
即为x²-（1+3•2ⁿ）x+（2ⁿ+2²ⁿ⁺¹）＜0，
解得2ⁿ＜x＜2ⁿ⁺¹+1，
即有c_n=2ⁿ，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+5•$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+5•$\frac{1}{16}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
化简可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查不等式的解法，属于中档题．