Question

5．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点A_n（n，n+5），若用f（n）表示线段OA_n上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2011）=1608．

Answer 1

分析 因为线段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，所在直线方程为y=x+$\frac{5}{n}$x，所以n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．由此入手能够求出f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

解答 解：∵线段OA_n斜率k=$\frac{n+5}{n}$=1+$\frac{5}{n}$，
所在直线方程为y=x+$\frac{5}{n}$x，
∴n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．
∴当n=5，10，15，20，…，2010时，线段OA_n上有除端点外的4个整点．
数列5，10，15，20，…，2010是首项为5，公差为5的等差数列，其通项公式为a_m=5m．
由5m=2010知m=402，
∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=4×402=1608，
故答案为：1608

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设条件中的隐含条件．