Question

18．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-[x]，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}\right.$，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根据[x]的定义，分别作出函数f（x）和g（x）=ax的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：当-2≤x＜-1时，[x]=-2，此时f（x）=x-[x]=x+2．
当-1≤x＜0时，[x]=-1，此时f（x）=x-[x]=x+1．
当0≤x＜1时，-1≤x-1＜0，此时f（x）=f（x-1）=x-1+1=x．
当1≤x＜2时，0≤x-1＜1，此时f（x）=f（x-1）=x-1．
当2≤x＜3时，1≤x-1＜2，此时f（x）=f（x-1）=x-1-1=x-2．
当3≤x＜4时，2≤x-1＜3，此时f（x）=f（x-1）=x-1-2=x-3．
设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（-2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（-1，1），C（3，1）时，有2个不同的交点，
则OA的斜率k=$-\frac{1}{2}$，OB的斜率k=-1，OC的斜率k=$\frac{1}{3}$，OD的斜率k=$\frac{1}{4}$，
故满足条件的斜率k的取值范围是$-1＜k≤-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}≤k＜\frac{1}{3}$，
故答案为：（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）

点评 本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．