Question

8．已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 问题转化为$b≤\frac{1}{x}+2x$对x∈（0，+∞）恒成立，结合函数的单调性，求出$\frac{1}{x}$+2x的最小值即可．

解答 解：依题意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-b≥0$对x∈（0，+∞）恒成立，
即$b≤\frac{1}{x}+2x$对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需$b≤{（\frac{1}{x}+2x）_{min}}$，
∵x＞0，∴$\frac{1}{x}+2x≥2\sqrt{2}$，
当且仅当$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时取“=”，
∴$b≤2\sqrt{2}$，
∴b的取值范围为：（-∞，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性最值问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．