Question

17．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}≤1}\\{x-y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x-2}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及直线的斜率公式即可得到结论

解答 解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，如图：
z的几何意义为区域内的点到定点（2，0）的斜率，
由图象可知当直线经过点A时，z取得最大值，当直线与下半圆相切时，
z取得最小值，
由z=$\frac{y}{x-2}$得，y=zx-2z，即zx-y-2z=0，
由圆心到直线的距离d=$\frac{|3z-2-2z|}{\sqrt{1+{z}^{2}}}$=1，
解得z=$\frac{3}{4}$，
故z=$\frac{y}{x-2}$的最小值为$\frac{3}{4}$；
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线和圆的位置关系，以及z的几何意义是解决本题的关键．