练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
    （Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；
    （Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求点P与MN中点的距离．

    分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
    （II）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$．

    解答 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），
    可得直角坐标方程为：x2+y2=2y+2x，配方为（x-1）2+（y-1）2=2．
    （Ⅱ）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得$（\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）^{2}$=2，即${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，
    由于△=6＞0，可设t1，t2是上述方程的两实根，则${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}$．
    ∵直线l过点P（1，0），
    ∴由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为$|{\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

    点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知两个正数a，b满足a+b=1
    （1）求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4
    （2）若不等式|x-2|+|2x-1|≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=$\frac{1}{2}$x垂直的切线，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    20．函数$y=\sqrt{\frac{x-6}{x-1}}$的定义域为（　　）
    A．（-∞，1]∪[6，+∞）B．（-∞，1）∪[6，+∞）C．（-3，1）∪（2，+∞）D．[-3，1）∪（2，+∞）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    7．已知x＞0，由不等式x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$=3，x+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$≥4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}}$=4，…我们可以得出推广结论：x+$\frac{a}{{x}^{n}}$≥n+1（n∈N+），则a=nn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    17．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}≤1}\\{x-y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x-2}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{3x-y-5≤0}\end{array}\right.$，求：
    （1）z=2x+y的最小值；   
    （2）z=x2+y2的范围．
    （3）z=$\frac{y+x}{x}$的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是120．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    2．已知集合A={0，1，21}，集合B={x|x＞1}，则A∩B={21}．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案