Question

7．已知x＞0，由不等式x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$=3，x+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$≥4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}}$=4，…我们可以得出推广结论：x+$\frac{a}{{x}^{n}}$≥n+1（n∈N₊），则a=nⁿ．

Answer 1

分析 根据题意，对给出的几个等式变形可得x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$=3，x+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$≥4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}}$=4，…归纳可得变化规律，左式为x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$，右式为n+1，即可得答案．

解答 解：根据题意，对给出的几个等式变形可得x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，x+$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}$=3，x+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$=$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{3}$+$\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}$≥4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{{3}^{3}}{{x}^{3}}}$=4，…归纳可得变化规律，左式为x+$\frac{{n}^{n}}{{x}^{n}}$，右式为n+1，
故答案为：nⁿ．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．