Question

4．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{3x-y-5≤0}\end{array}\right.$，求：
（1）z=2x+y的最小值；   
（2）z=x²+y²的范围．
（3）z=$\frac{y+x}{x}$的最大值．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再分别利用几何意义求最值．

解答 解：作出满足已知条件的可行域为△ABC内（及边界）区域，如图
其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）．
（1）目标函数z=2x+y，表示直线l：y=-2x+z，z表示该直线纵截距，当l过点A（1，2）时纵截距有最小值，故z_min=4．
（2）目标函数z=x²+y²表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$且垂足是D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）在线段AB上，故OD²≤z≤OC²，即z∈[$\frac{9}{2}$，25]；
（3）目标函数z=$\frac{y+x}{x}$=1+$\frac{y}{x}$，则$\frac{y}{x}$表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即$（\frac{y}{x}）_{max}$=2，即z_max=3．

点评 本题考查了线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．