Question

2．已知两个正数a，b满足a+b=1
（1）求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4
（2）若不等式|x-2|+|2x-1|≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用基本不等式证得结论．
（2）由题意可得|x-2|+|2x-1|≤4，分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．

解答 解：（1）证明：∵两个正数a，b满足a+b=1，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4成立．
（2）由题意结合（1）可知，只须|x-2|+|2x-1|≤4，
而当$x＜\frac{1}{2}$时，解不等式2-x+1-2x≤4得$-\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$，
当$\frac{1}{2}≤x＜2$时，解不等式2-x+2x-1≤4得$\frac{1}{2}≤x＜2$，
当x≥2时，解不等式x-2+2x-1≤4得$2≤x≤\frac{7}{3}$，
综上|x-2|+|2x-1|≤4的解集为$\{x\left|{-\frac{1}{3}≤x≤\frac{7}{3}}\right.\}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．