Question

19．已知斜率为1的直线过椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦点，且与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 不妨设直线l方程：y=x-$\sqrt{3}$，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：根据题意可知c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
不妨设直线l过右焦点，则l：y=x-$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，
∴x_A+x_B=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x_Ax_B=$\frac{8}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+[（{x}_{A}-\sqrt{3}）-（{x}_{B}-\sqrt{3}）]^{2}}$
=$\sqrt{2[（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}]}$
=$\sqrt{2•[（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4•\frac{8}{5}]}$
=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．