Question

9．如图，两同心圆（圆心在原点）分别与OA、OB交于A、B两点，其中A（$\sqrt{2}$，1），|OB|=$\sqrt{6}$，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为$\frac{π}{2}$．
（1）设角θ的始边为x轴的正半轴，终边为OA，求$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$的值；
（2）求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义结合三角函数的诱导公式进行化简即可求$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$的值；
（2）利用两角和差的正弦公式，余弦公式进行求解即可．

解答 解：（1）由A（$\sqrt{2}$，1）得|OA|=$\sqrt{3}$，
则sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．----------------------（2分）
则$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$=$\frac{tanθsinθ}{2sinθcosθ}$=$\frac{sinθ}{2cos^2θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$----------------------（6分）
（2）设∠AOB=α，
∵扇环的面积为$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{2}$=$\frac{1}{2}α•|OA{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×3α$，解得α=$\frac{π}{3}$----------------------（8分）
由题意知B（$\sqrt{6}$cos（θ+$\frac{π}{3}$），$\sqrt{6}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）），----------------------（9分）
∵$\sqrt{6}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{6}$cosθcos$\frac{π}{3}$-sinθsin$\frac{π}{3}$=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，----------------------（10分）
$\sqrt{6}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{6}$sinθcos$\frac{π}{3}$+cosθsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$，
即B（$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$）--------------------（12分）

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义以及两角和差的三角公式是解决本题的关键．