Question

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx-y+1=m，圆C：（x+1）²+（y-2）²=6．
（1）求证：对于任意m∈R，直线l与圆C恒有两个交点；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l：mx-y+1=m，即为m（x-1）=y-1，可得定点M（1，1），代入圆的方程，可得M在圆内，即可得证；
（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CM⊥l，求得直线CM的斜率，由垂直的条件，可得直线l的斜率，即m的值，进而得到直线l的方程．

解答 解：（1）证明：直线l：mx-y+1=m，即为m（x-1）=y-1，
令x=1，则y=1．
故直线l恒过点M（1，1），
又（1+1）²+（1-2）²=5＜6，
即有点M（1，1）在圆C内，
∴直线l与圆C恒有两个交点；                                
（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，
此时CM⊥l，
圆C：（x+1）²+（y-2）²=6的圆心为C（-1，2），
由直线CM的斜率为$\frac{2-1}{-1-1}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直线l的斜率${k_l}=-\frac{1}{{{k_{CM}}}}=-\frac{1+1}{1-2}=2$，即m=2，
则直线l的方程为2x-y-1=0．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相交，同时考查直线恒过定点的求法，以及弦长的最值的情况，属于中档题．