Question

6．已知点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C：y=ax³+bx²+d（a，b，d为常数），若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a+b+d=1．

Answer 1

分析 曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（-1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程，建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．

解答 解：设f（x）═ax³+bx²+d，
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b，f′（-1）=3a-2b．
根据题意得 3a+2b=3a-2b，∴b=0．
又点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C上，
∴a+d=1，且-a+d═-3
解得：a=2，d=-1，
则a+b+d=1．
故答案为：1．

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，是一道中档题．