Question

19．已知在直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1+4t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，则直线l与圆C的位置关系为相交．

Answer 1

分析 直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1+4t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=1+2x，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{2}$ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+$（y-\sqrt{2}）^{2}$=2，求出圆心到直线l的距离d与r比较即可得出位置关系．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1+4t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=1+2x，即2x-y+1=0．
圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，∴ρ²=2$\sqrt{2}$ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{2}$y，配方为：x²+$（y-\sqrt{2}）^{2}$=2，可得圆心C$（0，\sqrt{2}）$，半径r=$\sqrt{2}$．
圆心C到直线的距离d=$\frac{|0-\sqrt{2}+1|}{\sqrt{5}}$$＜\sqrt{2}$=r，
∴直线与圆相交．
故答案为：相交．

点评 本题考查了直线的参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．