Question

4．已知等差正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．
（1）求通项公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，可得S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵对任意正整数都满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n=1时，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．