Question

已知f_n（x）=cos（

2nπ

3

+x）（n∈N），则使得函数f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域为单元素的最小自然数n=

 

．

Answer 1

考点：余弦函数的定义域和值域

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：取n=2代入函数解析式，结合两角和的余弦展开求得函数的值域为单元素0，则答案可求．

解答： 解：∵f_n（x）=cos（

2nπ

3

+x）（n∈N），
∴f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）
=cosx+cos(

2π

3

+x)+cos(

4π

3

+x)+…+cos（

2nπ

3

+x），
取n=2时，f₀（x）+f₁（x）+f₂（x）=cosx+cos

2π

3

cosx-sin

2π

3

sinx+cos

4π

3

cosx-sin

4π

3

sinx
=cosx-

1

2

cosx-

3

2

sinx-

1

2

cosx+

3

2

sinx=0．
函数f₀（x）+f₁（x）+…+f_n（x）的值域为单元素0．
∴最小自然数n=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了余弦函数的定义域及其值域，考查了两角和的余弦，是基础的计算题．