Question

12．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），则a₂₀₁₈的值为（　　）

• A． 4033
• B． 4034
• C． 4035
• D． 4036

Answer 1

分析 根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，求得a₁=f（0）=1，再由f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，从而求得正确的结果

解答 解：根据题意，不妨设f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（其中x∈R），
则a₁=f（0）=1；
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），
（$\frac{1}{2}$）^a_n+1=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-2-{a}_{n}}}$=$（\frac{1}{2}）^{2+{a}_{n}}$，
∴a_n+1=a_n+2；
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
∴a_n=2n-1，
∴a₂₀₁₈=4035．
故选：C

点评 本题考查了数列与函数的综合运用，本题中的条件满足底数小于1的指数函数，用特殊值法来解答，以便提高解题效率．