Question

【题目】已知函数．

(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；

(2)证明：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

（1）先求导数，再讨论时与时情况下导函数零点，根据导函数符号确定极值点取法，即得结果，（2）利用放缩法转化证，()，利用二次求导确定函数单调性，再根据单调性证不等式.

（1）由题意知，函数的定义域为

①当时，令，解得

当时，

当时，

∴是函数的极小值点，满足题意.

②当时，令，

，

令，解得，

当时，，

当时，，

∴，

若，即时，

恒成立，

在上单调递增，无极值点，不满足题意.

若，即时，

，

∴，

又在上单调递增，

∴在上恰有一个零点，

当时，

当时，

∴是的极小值点，满足题意，

综上，.

（2）当时

若成立，

则必成立.

①若，则，

∴成立

∴成立.

②若，令，

,

令，,

∵,

∴,

∴在上单调递增,

∴,

即,

∴在上单调递增,

∴,

∴时，成立,

∴时，成立,

综上，.