Question

9．已知抛物线y²=4x的一条弦AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB所在的直线与y轴的交点坐标为（0，2），则$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB：y=kx+2，代入抛物线y²=4x，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可得到所求．

解答 解：AB所在的直线与y轴的交点坐标为（0，2），
设AB：y=kx+2，
代入抛物线y²=4x，可得
$\frac{k{y}^{2}}{4}$-y+2=0，
则△=1-2k＞0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{8}{k}$，
即有$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{\frac{4}{k}}{\frac{8}{k}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线方程和抛物线的方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．