Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N^*）．求证：数列{a_n}为等差数列，并求a_n与S_n．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系以及当n≥2时a_n=s_n-s_n-1，结合等差数列的定义进行证明即可．

解答 证明：由 a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）得s_n=na_n-2n（n-1），
当n≥2时a_n=s_n-s_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
得 a_n-a_n-1=4，
故{a_n}是a₁=1为首项，4为公差的等差数列，
故a_n=4n-3，s_n=2n²-n

点评 本题主要考查等差数列的判断，以及通项公式和前n项和公式的求解，比较基础．