Question

4．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=$\frac{1+f（x-2）}{1-f（x-2）}$，若f（2）=2+$\sqrt{3}$，则f（2006）=$\sqrt{3}-2$．

Answer 1

分析 根据条件f（x）=$\frac{1+f（x-2）}{1-f（x-2）}$，得到函数f（x）是周期为8的周期函数，进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+f（x-2）}{1-f（x-2）}$，
∴f（x-2）=$\frac{1+f（x-4）}{1-f（x-4）}$，
∴f（x）=$\frac{1+\frac{1+f（x-4）}{1-f（x-4）}}{1-\frac{1+f（x-4）}{1-f（x-4）}}$=-$\frac{1}{f（x-4）}$，
即f（x-4）=-$\frac{1}{f（x-8）}$
∴f（x）=f（x-8），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（2006）=f（250×8+6）=f（6），
∵f（2）=2+$\sqrt{3}$，
∴f（4）=$\frac{1+f（2）}{1-f（2）}$=$\frac{1+2+\sqrt{3}}{1-2-\sqrt{3}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，
f（6）=$\frac{1+f（4）}{1-f（4）}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-2$，
即f（2006）=$\sqrt{3}-2$，
故答案为：$\sqrt{3}-2$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．