Question

已知函数f（x）=

ax2+2

3x+b

是奇函数，且f（2）=

5

3

．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴

ax2+2

-3x+b

=-

ax2+2

3x+b

，
因此b=-b，
即b=0．
又f（2）=

5

3

，
∴

4a+2

6

=

5

3

，∴a=2；
（2）由（1）知f（x）=

2x2+2

3x

=

2x

3

+

2

3x

，f（x）在（-∞，-1]上为增函数，
证明：设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=

2

3

（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=

2

3

（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

．
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，-1]上为增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．