Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a₁，a₂，a₃，a₄，
（2）由（1）猜想an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）．利用a_n=S_n-S_n-1，整理出a_n的递推式，进而构造等比数列{a_n-2}中求出a_n．

解答：解：（1）因为S_n=2n-a_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*（1分）
所以，当n=1时，有a₁=2-a₁，解得a1=1=2-

1

20

；               （2分）
当n=2时，有a₁+a₂=2×2-a₂，解得a2=

3

2

=2-

1

21

；            （3分）
当n=3时，有a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，解得a3=

7

4

=2-

1

22

；        （4分）
当n=4时，有a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，解得a4=

15

8

=2-

1

23

．（5分）
（2）猜想an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）                                （9分）
由S_n=2n-a_n（n∈N^*），得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），（10分）
两式相减，得a_n=2-a_n+a_n-1，即an=

1

2

an-1+1（n≥2）．（11分）
两边减2，得an-2=

1

2

(an-1-2)，（12分）
所以{a_n-2}是以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
故an-2=-1×(

1

2

)n-1，（13分）
即an=2-

1

2n-1

（n∈N^*）．（14分）

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查归纳推理及等比数列的通项公式．属于中档题．