Question

判断直线y=x+1和椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的位置关系，若相交，求该直线截椭圆所得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：联立

y=x+1 x2 3 + y2 4 =1

，得7x²+6x-9=0，由此利用根的判别式推导出直线与椭圆相交，利用椭圆弦长公式能求出该直线截椭圆所得的弦长．

解答： 解：联立

y=x+1 x2 3 + y2 4 =1

，
得7x²+6x-9=0，
△=36-4×7×（-9）=288＞0，
∴直线y=x+1和椭圆

x2

3

+

y2

4

=1相交，
设两个交点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

6

7

，x₁x₂=-

9

7

，
∴该直线截椭圆所得的弦长：
|AB|=

(1+1)( 36 49 +4× 9 7 )

=

24

7

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的判断，考查直线与椭圆相交所得的弦长的求法，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．