Question

设集合A={x|log 

1

2

（3-x）≥-2}，B={x|

2a

x-a

＞1}．
（1）求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,交集及其运算,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将不等式

2a

x-a

＞1化为

3a-x

x-a

＞0，再转化为（x-a）（x-3a）＜0，对a分类讨论并分别求出解集B；
（2）先将原不等式化为：log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，根据对数函数的性质求出x的范围，即求出集合A，根据（1）和A∩B≠∅，分类求出实数a的取值范围，最后要并在一起．

解答： 解：（1）由

2a

x-a

＞1得，

2a

x-a

-1＞0，即

3a-x

x-a

＞0，
所以（x-a）（x-3a）＜0，
当a＞0时，则B={x|a＜x＜3a}；
当a＜0时，则B={x|3a＜x＜a}；
当a=0时，则B=∅；
（2）由log

1

2

（3-x）≥-2得，log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，
所以0＜3-x≤4，解得-1≤x＜3，
则集合A={x|-1≤x＜3}，
因为A∩B≠∅，所以B≠∅，
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，所以0＜a＜3；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，所以a＞-1，即-1＜a＜0；
综上得，实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，3）．

点评：本题考查对数不等式、分式不等式的求法，需要进行等价转化，以及对数函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想．