Question

已知函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

．则 
（ⅰ）f（f（x））=

 

；
（ⅱ）给出下列四个命题：
①函数f（x）是偶函数；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等边三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；
④存在x_i∈R（i=1，2，3，4），使得以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形是菱形．
其中，所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（ⅰ）对x分类：x∈Q和x∈C_RQ，再由解析式求出f（f（x））的值；
（ⅱ）①对x分类：x∈Q和x∈C_RQ，分别判断出f（-x）=f（x），再由偶函数的定义判断出①正确；②不正确；
由③解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；
④取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．

解答： 解：（ⅰ）由题意知，f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，
当x∈Q时，f（x）=1∈Q，则f（f（x））=1；
当x∈C_RQ时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，综上得，f（f（x））=1；
（ⅱ）对于①与②，当x∈Q时，则-x∈Q，故f（-x）=1=f（x），当x∈C_RQ时，则-x∈C_RQ，故f（-x）=0=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，①正确；②不正确；
对于③，根据f（x）=

1 0

，做出函数的大致图象：
假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图
故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在，
另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，
故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，③错误；
对于④，根据③做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，④正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对函数定义的理解与综合应用，考查抽象思维与逻辑思维能力，属于难题．