Question

（1）已知f（x）=

x

x+2

，用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义，利用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．

解答： （1）证明：x₁＜x₂＜-2，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

x1(x2+2)-x2(x1+2)

(x1+2)(x2+1)

=

2(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
∵x₁＜x₂＜-2，
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＜0，x₂+2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
（2）解：∵a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，
∴f（-x）=

e-x

a

+

a

e-x

=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
即

1

aex

+aex=

ex

a

+

a

ex

，
则（

1

a

-a）•

1

ex

=（

1

a

-a）•e^x，
即（

1

a

-a）（ex-

1

ex

）=0，
则

1

a

-a=0，
即a²=1，解得a=±1，
∵a＞0，
∴a=1．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键．