Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1，其中a＞0，a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式-1＜f（x-2）＜6．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时-x＞0，根据奇函数的性质和已知的解析式，求出当x＜0时的解析式，再用分段函数表示出来；
（2）根据（1）求出的解析式，对x-2分类讨论并列出不等式组，根据指数函数的单调性分类求解．

解答： 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=a^x-1，
∴f（x）=-f（-x）=-（a^-x-1）=-a^-x+1
∴f（x）=

ax-1，x≥0 -a-x+1，x＜0

      （6分）
（2）不等式-1＜f（x-2）＜6等价于：

x-2≥0 -1＜ax-2-1＜6

或

x-2＜0 -1＜-a-x+2+1＜6

，
即

x≥2 0＜ax-2＜7

或

x＜2 -5＜a2-x＜2

，
当a＞1时，解得

x≥2 x＜2+lo g 7 a

或

x＜2 x＞2-lo g 2 a

，
由于

log

2 a

＞0，

log

7 a

＞0，此时不等式的解集为（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

），
当0＜a＜1时，解得

x≥2 x＞2+lo g 7 a

或

x＜2 x＜2-lo g 2 a

，
由于

log

2 a

＜0，

log

7 a

＜0，此时不等式的解集为（-∞，2）∪[2，+∞）即R．
综上，当a＞1时，不等式的解集为（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为R．（13分）

点评：本题考查函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及分类讨论思想和转化思想．