Question

20．在△ABC中，A，B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（1）求A+B的值         
（2）若a-b=$\sqrt{2}$-1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．
（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出a，b，c的值．

解答 解：（1）∵A、B为锐角，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosB=$\sqrt{1-sin^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又cos2A=1-2sin²A=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\sqrt{1-sin^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知C=$\frac{3π}{4}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得
$\sqrt{5}$a=$\sqrt{10}$b=$\sqrt{2}$c，即a=$\sqrt{2}$b，c=$\sqrt{5}$b．
∵a-b=$\sqrt{2}$-1，∴$\sqrt{2}$b-b=$\sqrt{2}$-1，∴b=1．
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．