Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（a-b+c）=3ac，且tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$A＜C，AB边上的高为4$\sqrt{3}$，求A，B，C的大小与边a，b，c的长．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合（a+b+c）（a-b+c）=3ac可求B，利用和角的正切公式，结合tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$可求A、C，再利用正弦定理求边．

解答 解：（a+b+c）（a-b+c）=3ac，
⇒a²+c²-b²=ac，
⇒cosB=$\frac{1}{2}$，
⇒B=60°．
tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，
⇒-$\sqrt{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{1-tanAtanC}$，
⇒tanAtanC=2+$\sqrt{3}$，联合tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$
得$\left\{\begin{array}{l}{tanA=2+\sqrt{3}}\\{tanC=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tanA=1}\\{tanC=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{A=75°}\\{C=45°}\end{array}\right.$（A＜C故舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{A=45°}\\{C=75°}\end{array}\right.$，
当A=45°，C=75°时，b=$\frac{4\sqrt{3}}{sinA}$=4$\sqrt{6}$，c=4（$\sqrt{3}$+1），a=8
∴当A=45°，B=60°，C=75°时，a=8，b=4$\sqrt{6}$，c=4（$\sqrt{3}+1$）．

点评 本题主要考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，正确利用公式是关键，属于基本知识的考查．