Question

4．已知公差为2的等差数列{a_n}的首项为a₁=a，数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-20}{10}$，若对任意的n∈N^*，都有b_n≥b₁₀，则实数a的取值范围为（0，4]．

Answer 1

分析 通过化简可知b_n=$\frac{1}{5}{n}^{2}-$$\frac{42-a}{10}$n-2a+4，结合抛物线的对称轴计算即得结论．

解答 解：依题意有：a_n=a+2（n-1）=2n+a-2，
又∵$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-20}{10}$，
∴b_n=$\frac{n-20}{10}$•a_n
=$\frac{n-20}{10}$•（2n+a-2）
=$\frac{1}{5}{n}^{2}-$$\frac{42-a}{10}$n-2a+4，
记f（x）=$\frac{1}{5}{x}^{2}$-$\frac{42-a}{10}$x-2a+4，
则其图象是以x=$\frac{-\frac{42-a}{10}}{-2•\frac{1}{5}}$=$\frac{42-a}{4}$为对称轴的抛物线，
又∵f（n）≥f（10），n∈N^*，
∴9.5≤$\frac{42-a}{4}$≤10.5，
解得：0≤a≤4，
又∵a≠0，
∴0＜a≤4，
故答案为：（0，4]．

点评 本题考查数列的简单性质，涉及抛物线的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．