Question

8．过抛物线y²=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，再过A、B分别作抛物线的切线l₁，l₂，设l₁与l₂的交点为P（x₀，y₀），则x₀的值（　　）

• A． 0
• B． -p
• C． -$\frac{p}{2}$
• D． 不确定

Answer 1

分析 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的横坐标为定值-$\frac{p}{2}$．

解答 解：由抛物线y²=2px得其焦点坐标为F（$\frac{p}{2}$，0）．
设A（$\frac{1}{2p}$y₁²，y₁），B（$\frac{1}{2p}$y₂²，y₂），
直线l：x=my+$\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=2px\\ x=my+\frac{p}{2}\end{array}\right.$，得：y²-2pmy-p²=0．
∴y₁y₂=-p²…①．
又抛物线方程为：y²=2px，即x=$\frac{1}{2p}$y²，
求导得x′=$\frac{1}{p}y$，
∴抛物线过点A切线方程为x-$\frac{1}{2p}$y₁²=$\frac{1}{p}{y}_{1}$ （y-y₁）…②
抛物线过点B的切线方程为x-$\frac{1}{2p}$y₂²=$\frac{1}{p}{y}_{2}$（y-y₂）…③
由①②③得：x=-$\frac{p}{2}$．
∴l₁与l₂的交点P的横坐标x₀=-$\frac{p}{2}$，
故选：C

点评 本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题