Question

20．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+1．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在点（-2，f（-2））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，令导数小于0，由二次不等式的解法可得单调递减区间；
（2）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=-x³+3x²+9x+1的导数为
f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1，或x＞3，
可得函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
（2）f′（x）=-3x²+6x+9，
可得f（x）在点（-2，f（-2））处的切线斜率为
k=-3×4-12+9=-15，切点为（-2，3），
即有f（x）在点（-2，f（-2））处的切线方程为y-3=-15（x+2），
即为15x+y+27=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查运算能力，正确求导和运用直线方程、二次不等式的解法是解题的关键，属于基础题．