Question

5．已知函数f（x）=lg（5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m），f（x）∈R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 若使函数f（x）=lg（5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m）的值域为R，则g（x）=5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m能取到所有的正数，则g（x）_min≤0利用基本不等式可求g（x）的最小值，可求m的范围．

解答 解：∵若使得函数f（x）=lg（5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m）的值域为R，则g（x）=5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m能取到所有的正数，
∴g（x）_min≤0，
∵g（x）=5^x+$\frac{4}{{5}^{x}}$+m$≥2\sqrt{4}$+m=4+m，
∴m+4≤0，
∴m≤-4，
故m的取值范围：m≤-4．

点评 本题主要考查了对数函数的值域的应用，要注意该函数的定义域为R的区别，利用基本不等式求解．