Question

5．若函数f（x）=$\frac{kx+7}{{k{x^2}+4kx+3}}$的定义域为R，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{3}{4}}）$
• B． $（{-∞，0}）∪（{\frac{3}{4}，+∞}）$
• C． $[{0，\frac{3}{4}}）$
• D． $（{\frac{3}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意可得kx²+4kx+3≠0恒成立，对k讨论，k=0，k＞0，k＜0，结合二次函数的图象和性质，由二次不等式的解法即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得kx²+4kx+3＞0恒成立，
或kx²+4kx+3＜0恒成立，
当k=0时，即有3≠0恒成立；
当k＞0时，△＜0即为16k²-12k＜0，
解得0＜k＜$\frac{3}{4}$；
当k＜0时，△＜0，不等式无解，
综上可得，k的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$）．
故选：C．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用二次不等式的解法和二次函数的性质，以及分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．