Question

3．从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：

上一年的 出险次数	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
下一年 保费倍率	85%	100%	125%	150%	175%	200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折

有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率）：

一年中出险次数	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
频数	500	380	100	15	4	1

（1）求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；
（2）经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为：$\widehaty$=120x+1600．（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）．李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车．根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）

Answer 1

分析 （1）根据互斥事件的概率公式计算即可；
（2）求出下一年车险倍率X的分布列，计算X的数学期望，得出车主下一年的保费，根据X的数学期望是否大于1得出结论．

解答 解：（1）设某车在两年中出险次数为N，则P（N≤2）=P（N=0）+P（N=1）+P（N=2）=$\frac{500}{1000}$×$\frac{500}{1000}$+C₂¹×$\frac{500}{1000}$×$\frac{100}{1000}$+$\frac{380}{1000}$×$\frac{380}{1000}$=0.8477
∴某车在两年中出险次数不超过2次的概率为0.8744；…（4分）
（2）设该车辆2017年的保费倍率为X，则X为随机变量，X的取值为0.85，1，1.25，1.5，1.75，2…（6分）
X的分布列为）X的分布列为：

X	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
P	0.5	0.38	0.1	0.015	0.004	0.001

计算得下一年的保费倍率的数学期望E（X）=0.85×0.5+1×0.38+1.25×0.1+1.5×0.015+1.75×0.004+2×0.001=0.9615．
该车辆估计2017年应缴保费为：（120×20+1600）×0.9615=3846元，
∵0.9615＜1，
∴车险新政总体上减轻了车主负担．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求解，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．