Question

5．多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，BE∥DF，BE=DF，BE⊥平面ABCD且 BE=2AB=2，点P是线段BE上的一点，且BP=λ．
（Ⅰ）当λ=$\frac{1}{2}$时，求证：BF⊥平面PAC；
（Ⅱ）当直线BF与平面PAC所成角的正切值为2$\sqrt{2}$时，求λ 的值．

Answer 1

分析 （I）以D为坐标原点，以DA，DC，DF为坐标轴轴，求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$的坐标，通过计算数量积证明AC⊥BF，AP⊥BF，得出BF⊥平面APC；
（II）求出平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$解出λ．

解答 （Ⅰ）证明：∵BE∥DF，BE⊥平面ABCD，∴DF⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，以DA，DC，DF为坐标轴轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（0，0，2），P（1，1，$\frac{1}{2}$ ）．
∴$\overrightarrow{BF}=（-1，-1，2），\overrightarrow{AC}=（-1，1，0），\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$ 
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AP}=0$ 
∴AC⊥BF，AP⊥BF，
又AP?平面PAC，AC?平面PAC，AP∩AC=A，
∴BF⊥平面PAC．
（II）解：∵P（1，1，λ ）（0≤λ≤2），∴$\overrightarrow{AP}$=（0，1，λ），
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y+λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow n=（-λ，-λ，1）$．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}$=2λ+2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2{λ}^{2}+1}$，|$\overrightarrow{BF}$|=$\sqrt{6}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{2λ+2}{\sqrt{6}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$．
设直线BF 与平面PAC 所成角的为θ，则$tanθ=2\sqrt{2}$，∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴$\frac{2λ+2}{\sqrt{6}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得λ=1或$λ=\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用，属于中档题．