Question

（2011•泉州模拟）如图所示，圆锥SO的轴截面△SAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β⊥面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴为（　　）

• A．

  2

• B．

  10

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：过C作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS、BS于R、T，交椭圆C于两点P、Q，则P、Q即是椭圆短半轴顶点，先利用轴截面△SAB是边长为4的正三角形，C为AM的中点，计算RC，TC的值，再利用相交弦定理即可求得．

解答：解：过椭圆C作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS、BS于R、T，交椭圆C于两点P、Q，则P、Q即是椭圆短半轴顶点
在所作的圆中，RT为直径，如图，
∵轴截面△SAB是边长为4的正三角形，C为AM的中点
∴TC=

1

2

AB=2，RC=

1

4

AB=1，
∵PQ⊥RT，∴PC=CQ
∴利用相交弦定理可得：PC×CQ=TC×RC
∴PC=

2

∴椭圆C的短半轴为

2

故选A．

点评：本题以圆锥为载体，考查圆锥的截面问题，考查椭圆的性质，解题的关键是确定椭圆短半轴顶点．