【题目】已知是定义在
上的奇函数.
(1)当时,
,若当
时,
恒成立,求
的最小值;
(2)若的图像关于
对称,且
时,
,求当
时,
的解析式;
(3)当时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 的最小值为
;(2)
(3)
.
【解析】试题分析:(1)取最小值时,m,n为函数在
上最大值与最小值,先求函数在
上最值,再根据奇函数性质得在
上最大值与最小值,(2)先根据函数两个对称性(一个关于原点对称,一个关于
对称)推导出函数周期,根据周期性只需求出
解析式,根据关于
对称,只需求出
上解析式,根据奇函数性质根据
解析式可得
上解析式,(3)先根据函数解析式得到
,转化不等式为
,再根据函数单调性得
,最后根据不等式恒成立,利用变量分离法求实数
的取值范围.
试题解析:(1),当
时,
.
,因为函数
是奇函数,所以当
时,
,
.
所以,
,
的最小值为
.
(2)由为奇函数,得
;又
的图像关于
对称,得
;∴
即
∴
当,
;
当,
;
又,当
时,
(3)易知,
;
,
;综上,对任
,
∴对任意的
恒成立,又
在
上递增,
∴,即
对任意的
恒成立.
∴∴
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【题目】已知,
分别是椭圆
:
(
)的左、右焦点,离心率为
,
,
分别是椭圆的上、下顶点,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线
与
交于
,
两点,求三角形
面积的最大值(
是坐标原点).
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【题目】已知函数的最大值为
,
的图象关于
轴对称.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设,是否存在区间
,使得函数
在区间
上的值域为
?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】给出下列4个命题
①“若,则
”的否命题是“若
,则
”;
②若命题,则
为真命题;
③“平面向量夹角为锐角,则
”的逆命题为真命题;
④“函数有零点”是“函数
在
上为减函数”的充要条件.
其中正确的命题个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)= ,给出下列命题:
①F(x)=|f(x)|;
②函数F(x)是偶函数;
③当a<0时,若0<m<n<1,则有F(m)﹣F(n)<0成立;
④当a>0时,函数y=F(x)﹣2有4个零点.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】我们把b除a的余数r记为r=abmodb,例如4=9bmod5,如图所示,若输入a=209,b=77,则循环体“r←abmodb”被执行了次.
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