Question

1．在平面直角坐标系中，设F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆于A，B两点，三角形ABF₂的周长为$4\sqrt{2}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；  
（2）若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆于A，B两点，三角形ABF₂的周长为$4\sqrt{2}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组，求出椭圆的标准方程．
（2）设直线AB：y=$\frac{1}{2}$（x+1），代入椭圆得3x²+2x-3=0，由此能求出弦长．

解答 解：（1）∵F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，
过点F₁的直线交椭圆于A，B两点，三角形ABF₂的周长为$4\sqrt{2}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=4\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=2-1=1，
∴椭圆的标准方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，F₁（-1，0），
∴直线AB：y=$\frac{1}{2}$（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2x-3=0，
△=4+36=40＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-1，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）（\frac{4}{9}+4）}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
∴$|AB|=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、弦长公式的合理运用．