Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n（n∈N^*）
（1）求a₁的值及数列{an}的通项公式；
（2）记数列{

1

an3

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

7

32

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）令n=1，a₁=S₁=，即可得到首项，再由当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到a_n-a_n-1=2，再由等差数列通项公式，即可得到通项；
（2）运用放缩法，即有

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8

•

1

n3

＜

1

8

•

1

n2

＜

1

8

•

1

n2-1

=

1

16

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n＞1）．再由裂项相消求和，即可得证．

解答： （1）解：当n=1时，4a₁=4S₁=a₁²+2a₁，解得a₁=2，（0舍去），
∵4S_n=a_n²+2a_n，当n＞1时，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1，
∴两式相减可得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}各项均正，
∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}是以2为公差，2为首项的等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）证明：由于

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8

•

1

n3

＜

1

8

•

1

n2

＜

1

8

•

1

n2-1

=

1

16

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n＞1）．
则T_n=

1

8

+

1

8•23

+

1

8

•

1

33

+…+

1

8

•

1

n3

＜

1

8

+

1

16

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

8

+

1

16

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
＜

1

8

+

1

16

×(1+

1

2

)=

7

32

，
即有T_n＜

7

32

．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．