Question

已知，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C，它的长轴长为4，短轴长为2

2

．
（1）求该椭圆C的离心率；
（2）若M，N是椭圆C上的不同二点，满足直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，且

OP

=

OM

+2

ON

，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得

2a=4 2b=2 2

，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）椭圆的标准方程为x²+2y²=4，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），动点P（x，y），则x12+2y12=4，x22+2y22=4，

x=x1+2x2 y=y1+2y2

，从而x2+2y2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=20+4（x₁x₂+y₁y₂），由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，得x₁x₂=-2y₁y₂，由此能求出动点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C，它的长轴长为4，短轴长为2

2

．
∴

2a=4 2b=2 2

，解得a=2，b=

2

，
∴c=

4-2

=

2

，
∴该椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，即x²+2y²=4，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），动点P（x，y），
则x12+2y12=4，①
x22+2y22=4，②
又∵

OP

2=

OM

+2

ON

，
∴

x=x1+2x2 y=y1+2y2

，③
由①②③，得：
x2+2y2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4（x₁x₂+y₁y₂），④
由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，得x₁x₂=-2y₁y₂，⑤
将⑤代入④，得x²+2y²=20．
∴所求的动点P的轨迹方程为x²+2y²=20．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查动点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．