Question

已知f(x)=

x

x+2

（x＞0），若f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，n∈N^*）则

1

f8(1)

=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,函数的值

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件求出f₁（1）的值，化简f_n（x）=f（f_n-1（x））得

1

fn(1)

=

2

fn-1(1)

+1，设an=

1

fn(1)

得a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），可证明数列{a_n+1}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式求出

1

fn(1)

和

1

f8(1)

．

解答： 解：由题意得，f(x)=

x

x+2

（x＞0），f₁（x）=f（x），
则f₁（1）=f（1）=

1

3

，
因为f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2，n∈N^*），
所以f_n（1）=f（f_n-1（1））=

fn-1(1)

fn-1(1)+2

，
即f_n（1）f_n-1（1）+2f_n（1）=f_n-1（1），
两边同除以f_n（1）f_n-1（1）得，

1

fn(1)

=

2

fn-1(1)

+1，
设an=

1

fn(1)

，则上式边为：a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
则a_n+1=2（a_n-1+1），且a₁+1=3+1=4，
所以数列{a_n+1}是以4为首项、2为公比的等比数列，
则a_n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1，
所以

1

fn(1)

=2ⁿ⁺¹-1，则

1

f8(1)

=2⁹-1=511，
故答案为：511．

点评：本题以函数为载体，考查数列的递推公式，等比数列的定义、通项公式的应用，以及换元法、构造法求出数列的通项，具有一定的综合性．