Question

已知x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，若xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，利用基本不等式的性质可得xy=（x+4y）+21≥21+2

4xy

．解得

xy

≥7．由于xy≥m-2恒成立，可得m≤（xy+2）_min即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，且xy-（x+4y）=21，
∴xy=（x+4y）+21≥21+2

4xy

，当且仅当x=4y=12时取等号．
化为(

xy

)2-4

xy

-21≥0，
因式分解为(

xy

-7)(

xy

+3)≥0．
解得

xy

≥7，
∴xy≥49．
∵xy≥m-2恒成立，
∴m≤（xy+2）_min=51．
故答案为：51．

点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．