Question

已知抛物线方程为y²=4x，过点A（1，2）作抛物线的弦AP、AQ．若AP⊥AQ，则点O到直线PQ距离的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程与抛物线方程联立，利用AP⊥AQ，结合韦达定理，即可证明直线PQ过定点，并可求出定点的坐标，再由当OC垂直于直线PQ时，点O到直线PQ距离取得最大值，求出即可．

解答： 解：设直线PQ的方程为x=my+n，
点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线方程代入抛物线方程，消x得y²-4my-4n=0，
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n，
∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5，
∴直线PQ的方程为x-5=m（y+2），
∴直线PQ过定点C（5，-2），
当OC垂直于直线PQ时，点O到直线PQ距离取得最大值，且为

52+22

=

29

．
故答案为：

29

．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式，同时考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．