Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴长为2，左右焦点分别为F₁，F₂，c为半焦距．若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，P为椭圆上的动点，过P作此圆的切线l，切点为T．
（1）当l经过原点时，l的斜率为-

3

3

，求椭圆的方程． 
（2）若|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c），圆F₂与x轴的右焦点为C，过点C作斜率为k（k＞0）的直线m与椭圆交于A，B两点．与圆F₂交于另一点D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|CD|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得

b-c

c

=

1-c

c

=

1

2

，从而解出a，b，c；从而求椭圆的方程；
（2）由题意可得直线m的方程为y=k（x-1），联立方程得到

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，从而可得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0；由韦达定理，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

2a2k2

a2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a2k2+1

；
则由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

=0，从而可得k=a；利用两点间的距离公式求解即可．

解答： 解：（1）当l经过原点时的斜率为-

3

3

，
故

b-c

c

=

1-c

c

=

1

2

，
解得，c=

2

3

；
故a²=b²+c²=1+

4

9

=

13

9

；
故椭圆方程为

9x2

13

+y²=1；
（2）由题意，点Q的坐标为（1，0），则得直线m的方程为y=k（x-1），
联立方程组

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

得，
（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

2a2k2

a2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a2k2+1

；
代入直线方程得y₁y₂=

k2(1-a2)

a2k2+1

，x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

；
由题意OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

=0，
所以k=a，直线m方程为ax-y-a=0，
圆心F₂（c，0）到直线m的距离d=

|ac-a|

a2+1

．
CD²=4[（b-c）²-d²]=

4(c-1)2

a2+1

；
|CD|=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 a2+1

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
根据题意可设切线长|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
所以当且仅当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，
而|PF₂|_min=a-c，
所以

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

（a-c）；．
所以0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，
从而解得

1-c

1+c2 -c

≤

1

2

，
解得，c≥

3

4

；
所以

3

4

≤c＜1，
所以

5

2

≤2c+1＜3；
则|CD|∈（0，

2 41

41

]．
所以当c=

3

4

时，|CD|_max=

2 41

41

．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的应用，化简很复杂，属于难题．