Question

已知在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P、Q、R分别是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，给出下列四个结论：
①PR与BQ是异面直线；
②RQ⊥平面BCC₁B₁；
③平面PQR∥平面D₁AC；
④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为

2

的等边三角形．
以上结论中正确的是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：画出正方体，找出各线面，然后充分利用正方体的性质解答．

解答： 解：如图
①PR与BQ是异面直线错误；因为点P、Q、R分别是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，所以在△A₁BC₁
中，P，R分别是A₁B，A₁C₁的中点，所以PR∥BQ；
②RQ⊥平面BCC₁B₁错误；与①同理可得RQ∥AC，所以RQ与平面BCC₁B₁所成的角是角ACB为45°；
③平面PQR∥平面D₁AC正确；因为与①同理得到RQ∥AC．PR∥AD₁；所以③正确；
④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为

2

的等边三角形．错误；
因为正方体的棱长为1，所以AC=

2

，又点P、Q、R分别是表面A₁B₁C₁D₁、BCC₁B₁、ABB₁A₁的中心，所以RQ=

1

2

AC=

2

2

，同理得到PR=PQ=

2

2

，故④错误．
故答案为：③

点评：本题考查了正方体的性质以及直线与直线，线与面的关系；关键是正确利用正方体的性质以及有关的线面关系定理解答．