Question

已知：设△ABC中，AD、BE为BC和AC边上的高，AD、BE交于H点．求证：CH⊥BA．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：过C作三角形ABC的高CF，分别交BE，AD，AB于O₁，O₂，F． 由三角形ACD相似于三角形BCE，可得

AC

BC

=

CD

CE

，即AC×CE=BC×CD （1），由三角形CDO₂相似于三角形CBF得：

CD

CF

=

CO2

BC

，即CD×BC=CF×CO₂ （2），由三角形CEO₁相似于三角形AFC得：

CE

CF

=

CO1

AC

，即CE×AC=CF×CO₁ （3），三式比较可得三角形ABC得三条高交于一点O．从而命题得证．

解答： 解：三角形ABC中AC、BC上的高为BE和AD．
显然三角形ACD相似于三角形BCE，
故有

AC

BC

=

CD

CE

，即AC×CE=BC×CD （1）
过C作三角形ABC的高CF，分别交BE，AD，AB于O₁，O₂，F．
由三角形CDO₂相似于三角形CBF得：

CD

CF

=

CO2

BC

，即CD×BC=CF×CO₂ （2）
由三角形CEO₁相似于三角形AFC得：

CE

CF

=

CO1

AC

，即CE×AC=CF×CO₁ （3）
根据等式（1）（2）（3）有 CF×CO₁=CF×CO₂，所以CO₁=CO₂，O₁、O₂重合，记重合点为O点，
则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O（即H）．
从而可证得CH⊥BA．

点评：本题主要考察了三角形相似的性质，考察了三线共点，属于基本知识的考查．